Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Часть 1

М.: Мир, 1982. — 486 с.Излагается математический аппарат теоретической физики (некоторые разделы функционального анализа, теория вероятностей, эволюционные задачи и т. д. ) и показывается его применение к квантовой механике и гидродинамике. Книга рассчитана на первоначальное изучение предмета.Предисловие редактора перевода
Предисловие. О природе математической физики
Гильбертовы пространства
Обзор необходимых сведений о матрицах и конечномерных пространствах
Линейное пространство. Нормированные линейные пространства
Гильбертово пространство: аксиомы и элементарные следствия
Примеры гильбертовых пространств
Кардинальные числа. Сепарабельность. Размерность
Ортонормированные последовательности
Подпространства: Теорема о проекции
Линейные функционалы. Теорема Рисса-Фреше о представлении лннейного ограниченного функционала
Сильная и слабая сходимость
Гильбертовы пространства аналитических функций
Поляризация
Распределение и их общие свойства
Происхождение понятия распределения
Классы пробных функций. Функции класса C₀^∞
Обозначения для распределений. Билинейная форма
Формальное определение. Непрерывность функционалов
Примеры распределений
Распределения как пределы последовательностей функций. Сходимость распределений
Дифференцирование и интегрирование
Замена независимых переменных. Симметрии
Ограничения и предостережения
Регуляризация
Приложение к главе 2. Разрывный линейный функционал
Локальные свойства распределений
Краткое описание открытых и замкнутых множеств в R^n
Определение локальных свойств
Теорема об открытых покрытиях
Теоремы о пробных функциях. Разбиения единицы
Основные теоремы о локальных свойствах
Носитель распределения
Распределения медленного роста и преобразования Фурье
Пространство Q
Распределения медленного роста
Рост на бесконечности
Преобразование Фурье на Q
Преобразование Фурье распределений медленного роста
Энергетический спектр
Пространства L²
Сходимость в среднем. Полнота систем функций
Физический пример аппроксимации в среднем
Пространства L² (Rⁿ) и L² (Ω)
Умножение в пространствах L²
Интегрирование в пространствах L². Определенные интегралы
Об обращении в нуль на бесконечности. I
Пространства типа L¹, L^p, и L^∞.
Преобразование Фурье в L¹. Лемма Римана-Лебега. Теорема Лузина
Пространства типа L_σ²
Преобразование Фурье и операторы сглаживания в пространствах L²
Пространства Соболева. Пространство W¹
Граничные значения в W¹. Подпространство W₀¹.
Об обращении в нуль на бесконечности. II.
Некоторые задачи, связанные с лапласианом
Потенциал. Уравнение Пуассона
Свертки
Обоснование уравнения Пуассона
Задачи Пуассона, Дирихле, Грина и Неймана из классической теории потенциала
Теорема Шварца о ядре. Прямое произведение f(x) g(y)
Вариационный метод для собственных функций лапласиана
Теорема компактности для пространства Соболева W¹
Существование собственных функций
Задача гидродинамической устойчивости. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
Уравнения Коши - Римана. Гармонические распределения
Линейные операторы в гильбертовом пространстве
Линейные операторы
Сопряженность. Самосопряженные и унитарные операторы
Примеры в l².
Интегральные операторы в L² (a,b)
Дифференциальные операторы с точки зрения теории распределений
Замкнутые операторы
График оператора. Область значений и нуль-пространство
Операторы радиального импульса
Положительные операторы. Числовая область значений
Спектр и резольвента
Определения
Примеры и упражненияСпектр симметрического, самосопряженного и унитарного операторов
Изменение спектра при расширении оператора
Аналитические свойства резольвенты
Расширения симметрических операторов. Индексы дефекта. Преобразование Кэли. Второе определение самосопряженности
Спектральное разложение самосопряженных и унитарных операторов
Спектральное разложение эрмитовой матрицы
Проекторы в гильбертовом пространстве Н
Построение спектральных проекторов для матрицы
Связь с аналитическими функциями
Функции и распределения как граничные значения аналитических функций
Разложение единицы для самосопряженного оператора
Свойства операторов E_t
Каноническое представление самосопряженного оператора
Типы сходимости ограниченных операторов. Связь между свойствами непрерывностн E_t и спектром A
Унитарные oпeрaтopы. Функции от операторов. Ограниченные наблюдаемые. Полярное разложение
Приложение А к главе 9. Свойства операторов E_t
Прнложение Б к rлаве 9. Каноническое представление самосопряженного
Оператора
Обыкновенные дифференциальные операторы
Резольвента и спектральное семейство для оператора -id/dx
Резольвента и спектральное семейство для оператора -(d/dx)²
Метод преобразования Фурье
Регулярный оператор Штурма-Лиувилля
Существование и единственность решения. Интегральное уравнение. Собственные функции
Резольвента. Функция Грина. Полнота собственных функций
Более общие граничные условия
Оператор Штурма-Лиувилля с одной особой концевой точкой
Граничное условие в особой концевой точке
Регулярная особая точка. Метод Фробениуса
Самосопряженное расширение оператора T в случае предельной точки
Разложение по собственным функциям
Случай предельной окружности
Случай двух особых концевых точек
Уравнение Весселя
Нерелятивистский водородоподобный атом
Релятивистский водородоподобный атом
Некоторые операторы с частными производными в квантовой механике
Самосопряженный лапласиан в Rⁿ
Резольвента, спектр и спектральные проекторы
Операторы Шредингера
Возмущение спектра. Существенный спектр. Абсолютно непрерывный спектр
Непрерывный спектр в смысле Гильберта. Непрерывные и абсолютно непрерывные подпространства
Гамильтонианы Дирака
Лапласиан в ограниченной области
Компактные операторы, операторы Гильберта - Шмидта и ядерные операторы
Некоторые свойства матриц
Компактные операторы
Операторы Гильберта-Шмидта и ядерные операторы
Интегральные операторы Гильберта-Шмидта
Операторы с компактной резольвентой
Вероятность. Мера
Одномерные распределения вероятностей. Функция распределения. Плотность
Средние и математические ожидания
Двумерные и многомерные распределения. Неубывающие функции нескольких переменных
Нормальные распределения
Центральная предельная теорема
Выборка
Маргинальная и условная вероятности
Моделирование. Метод Монте-Карло
Меры
Меры как функции множеств
Вероятность в гильбертовом пространстве. Цилиндрические множества . Гауссовы меры
Приложение к главе 13. Функции ограниченной вариации
Вероятность и операторы в квантовой механике
Состояния системы. Наблюдаемые
Вероятности; конечная модель
Вероятности: общий случай (H бесконечномерно)
Математические ожидания. Область определения A
Матрица плотности
Алгебры ограниченных операторов. Канонические соотношения коммутации Самосопряженный оператор с простым спектром
Спектральное представление пространства H для самосопряженного оператора с простым спектром
Полная система коммутирующих наблюдаемых
Эволюционные задачи. Банаховы пространства
Задачи с начальными данными в механике
Задача теплопроводности с начальными данными
Корректно и некорректно поставленные задачи
Задача с начальными данными для волновых процессов
Функциональное пространство (пространство состояний) задачи с начальными данными
Полнота пространства состояний. Банахово пространство
Примеры банаховых пространств
Неэквивалентность различных банаховых пространств
Линейные операторы
Линейные функционалы. Сопряженное пространство
Сходимость векторов и операторов
Скалярное произведение. Гильбертовы пространства
Задачи теории относительности
Полунормы
Корректно поставленные задачи с начальными данными. Полугруппы
Постановка задач с начальными данными в банаховых пространствах
Корректно поставленные задачи. Обобщенные решения
Волновые процессы
Уравнение Шредингера
Уравнения Максвелла в вакууме
Полугруппы
Инфинитезимальный генератор полугруппы
Теорема Хилле-Иосиды
Перенос нейтронов в слое. Примененне теоремы Хилле-Иосиды
Неоднородные задачи
Задачи, в которых оператор A зависит от времени
Нелинейные задачи: гидродинамика
Распространение волн
Гидродинамическне законы сохранения
Слабые решения
Условия на скачке
Ударные волны и поверхности скольжения
Неустойчивость волн разрежения
Звуковые волны и характеристики в одномерном случае
Гиперболические системы
Уравнения гидродинамики в характеристической форме
Замечания о задачах с начальными данными
Распространение информации вдоль характеристик в одномерном случае
Характеристики в случае нескольких пространственных переменных. Теорема Коши- Ковалевской
Задача Римана и ее обобщения
Спонтанное образование ударных волн
Неустойчивости Гельмгольца и Тейлора
Предположение о гидродинамических кусочноаналитических задачах с начальными данными
Особенности течений
Приложение к главе 17 (разделы А-Д). Задача об отсоединенной yдарной волне
Постановка задачи
Некорректность задачи
Метод степенных рядов
Арифметика с подсчетом значащих цифр
Аналитическое продолжение
Список литературы
Именной указатель
Предметный указатель