Зубов Л.М., Карякин М.И. Элементы тензорного исчисления

Ростов: РГУ, 2003. — 108 с.Евклидово векторное пространство. Основной и взаимный базис. Ковариантные и контравариантные компоненты вектора.
Преобразование базиса.
Упражнения.
Тензорное произведение двух евклидовых пространств.
Размерность и базис тензорного произведения двух евклидовых пространств.
Тензорное произведение трёх и более евклидовых пространств.
Евклидовы тензоры. Преобразование компонент тензора при изменении базиса.
Действия с тензорами.
Упражнения.
Теорема о линейной тензорной функции.
Единичный тензор.
Упражнения.
Тензор Леви-Чивита.
Тензоры второго ранга. Симметричные и антисимметричные тензоры. Представление антисимметричного тензора с помощью вектора.
Упражнения.
Связь алгебры тензоров второго ранга с алгеброй матриц. Детерминант тензора.
Упражнения.
Ортогональные тензоры.
Вектор конечного поворота.
Упражнения.
Спектральное разложение тензора второго ранга.
Проекторы.
Геометрическая интерпретация симметричного тензора второго ранга.
Теорема Гамильтона-Кэли.
Упражнения.
Полярное разложение тензора второго ранга.
Упражнения.
Вычисление квадратного корня из тензора.
Псевдотензоры.
Внутренняя симметрия тензоров.
Внешняя симметрия тензоров.
Изотропные и гиротропные тензоры.
Упражнения.
Тензорные функции.
Группа симметрии тензорной функции.
Изотропные тензорные функции.
Теоремы об общих представлениях изотропных тензорных функций.
Упражнения.
Дифференцирование тензорных функций.
Группа симметрии производной тензорной функции.
Дифференцирование главных инвариантов тензора второго ранга.
Дифференцирование изотропной тензорной функции, аргумент и значение которой являются симметричными тензорами второго ранга.
Аналитические функции тензора второго ранга.
Упражнения.
Евклидово точечное пространство.
Тензорное поле. Градиент тензорного поля.
Дивергенция и ротор тензорного поля.
Криволинейные координаты.
Символы Кристоффеля второго рода. Ковариантная производная.
Ортогональные криволинейные координаты.
Упражнения.
Формула Остроградского-Гаусса для тензорных полей.
Формула Стокса для тензорных полей.
Упражнения.
Формулы теории поверхностей.
Дифференциальные операторы на поверхности.
Интегральные формулы для тензоров на поверхности.