Кравцев С.В., Макаров Ю.Л., Максимов М.И., Нараленков М.И., Чирский В.Г. Методы решения задач по алгебре: От простых до самых сложных

М.: Экзамен, 2001. — 544 с.Предлагаемая вниманию читателя книга написана коллективом сотрудников механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Она является полным и систематическим курсом, предназначенным для интенсивной математической подготовки к поступлению в любой вуз.
Пособие написано на основе многолетнего опыта работы авторов с самыми различными по уровню подготовки аудиториями школьников и абитуриентов. Все авторы неоднократно были руководителями или членами экзаменационных комиссий по математике на различных факультетах МГУ и в других вузах, что позволило им предостеречь читателя от многочисленных типичных ошибок, которые допускаются абитуриентами на экзаменах. Чтобы поступающий мог избежать таких ошибок, в пособии использованы наиболее простые методики обучения решению задач, которые помогли многим поколениям абитуриентов успешно сдать вступительные экзамены по математике в самые различные вузы.Множества и операции над ними.
Основные алгебраические формулы.
Функции и отображения.
Уравнения, неравенства, системы, совокупности.
Понятие равносильности уравнений, неравенств, систем.
Некоторые свойства функций.
Метод интервалов для решения неравенств.
Рациональные неравенства.
Линейные и квадратичные зависимости, функция |х| и связанные с ними уравнения и неравенства.
Линейная функция.
Линейные уравнения и неравенства.
Решение линейных неравенств.
Квадратный трехчлен.
Корни квадратного трехчлена.
Зависимость расположения графика функций квадратного трехчлена от a, D.
Решение квадратных неравенств.
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Задачи.
Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач.
Равносильность и следствия в задачах с квадратным трехчленом.
Уравнения и неравенства, содержащие модули.
Решение уравнений и неравенств, содержащих иррациональности.
Определение и свойства функций y = fx.
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
Определение и свойства показательной функции.
Определение и свойства логарифмической функции.
Простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
Основные типы показательных уравнений и неравенств.
Основные типы логарифмических уравнений и неравенств.
Тригонометрические уравнения, системы и неравенства.
Градусная и радианная меры угла. Тригонометрический круг.
Основные тригонометрические функции.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Тригонометрические формулы.
Тригонометрические уравнения, сводящиеся заменой.
переменной к квадратному уравнению.
Решение уравнений с помощью вспомогательного аргумента.
Уравнения вида: (sin x - f cos x / sin 2x)=G; или (sin x- cos x/ sin 2x) = 0.
Проверка и отбор корней тригонометрических уравнений.
Системы уравнений и неравенств.
Некоторые приемы решения систем уравнений.
Системы линейных уравнений.
Системы уравнений второго порядка.
Симметрические системы.
Системы тригонометрических уравнений.
Системы логарифмических и показательных уравнений.
Нестандартные системы уравнений.
Текстовые задачи.
Задачи «на движение».
Нестандартные задачи.
Метод мини-максов.
D- метод. (Дискриминантный метод).
Метод отделяющих констант.
Метод тригонометрической подстановки.
Метод «геометрической» подстановки.
Симметрия алгебраических выражений.
Координатная плоскость «переменная-параметр» и решение относительно параметра.
Решение нестандартных задач с использованием общих свойств функций.
Задачи со свободным параметром.
Использование теоремы Виета.
Задачи с заменой условия.
Решение задач с целыми числами.
Простые и составные числа.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких целых чисел.
Решение в целых числах (х, y) уравнений вида: ах + bу = с.
Китайская задача об остатках.
Решение в целых числах уравнений вида: ах + bх - у + су = d.
Задачи вступительных экзаменов с целыми числами.
Решение задач с помощью производной функции.
Производная функции.
Решение задач с использованием производной.