Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии

Перевод с фр. В.В. Рыжкова. — М.: Мир, 1989. — 312 с. — (Современная математика. Вводные курсы) — ISBN 5-03-001008-4.Монография учебного характера, написанная французским математиком на основе университетского курса лекций. Книга примыкает по тематике к известному двухтомнику М. Берже «Геометрия» (М.: Мир, 1984), но отличается от него простотой и доступностью. Изложение начинается с основных понятий и доводится до весьма общих и глубоких теорем геометрии. Приведено более 100 упражнений для самостоятельного решения. Для математиков разной квалификации, преподавателей, аспирантов и студентов университетов и пединститутов, учителей и школьников старших классов.От переводчика.
Предисловие.
Поле действительных чисел.
Бесконечные десятичные дроби.
Лексикографический порядок на D.
Действительные числа. Десятичные приближения.
Сложение действительных чисел. Групповая структура.
Архимедовы группы.
Аксиоматическая характеризация R как группы.
Автоморфизмы группы (R, +). Структура поля. Гомоморфизмы (R, +) в себя.
Упорядоченные поля. Характеризация R как поля.
Структура векторного пространства над телом.
Общее понятие тела.
Векторные пространства над произвольным телом.
Конечномерные векторные пространства.
Линейные и полулинейные отображения.
Линейные и полулинейные отображения в конечномерном случае.
Линейные формы, гиперплоскости, дуальность.
Дуальность в конечномерном случае.
Изоморфизмы векторного пространства на его сопряжённое (коммутативный случай, конечная размерность).
О бесконечномерных пространствах.
Некоторые приложения аксиомы Цорна.
Структура аффинного пространства над телом.
Введение.
Аффинные пространства.
Аффинные подпространства (линейные аффинные многообразия).
Барицентры; приложения к изучению аффинных подпространств.
Аффинные и полуаффинные отображения.
Каноническое погружение пространства в векторное. Приложения.
Приложения теоремы о погружении.
Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.
Основная теорема аффинной геометрии.
Элементы проективной геометрии.
Введение.
Понятие проективного пространства.
Проективные морфизмы. Гомографии.
Проективное пополнение аффинного пространства.
Принцип двойственности.
Проективные прямые. Гармоническое отношение.
Гармонические четвёрки прямых на плоскости.
Гомографии проективной прямой. Двойное отношение.
Проективная плоскость. Теоремы Чевы и Менелая.
Теорема Дезарга.
Теорема Паппа и коммутативность тела.
Основная теорема проективной геометрии.
Аксиоматическое построение аффинной и проективной геометрий.
Основные аксиомы плоской геометрии.
Дилатации плоскости аффинного типа.
Плоскости трансляций.
Векторное исчисление в плоскости трансляций.
Малая теорема Фалеса в плоскости трансляций.
Дезаргова плоскость.
Построение тела, ассоциированного с дезарговой плоскостью.
Плоскость Паппа - Паскаля.
Упорядоченные плоскости, архимедовы плоскости.
Аффинная структура архимедовой плоскости.
Проективные пространства произвольной размерности: истолкование аксиомы Дезарга с помощью вложения.
Проективная структура пространства.
Метрическая геометрия (евклидова и неевклидова).
Введение.
Аксиомы метрической плоскости.
Общие свойства метрической плоскости.
Осевые симметрии. Перпендикулярные прямые.
Вращения.
Углы.
Сложение и измерение углов.
Неравенства в треугольнике. Приложения.
Перпендикулярные и наклонные. Проблемы пересечения.
Четырёхугольник Саккери. Приложения.
Различные формы аксиомы Евклида.
Гиперболическая плоскость (модель Пуанкаре).
Упражнения.
Литература.
Предметный указатель.