Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления

Учебное пособие. — Харьков: Харьковский государственный университет (ХГУ) имени А.М. Горького, 1959. — 238 с.В книге излагаются основные сведения из векторной и тензорной алгебры, понятие тензорных полей и тензорный анализ, включающий интегральные теоремы; содержится ряд задач тензорного исчисления в применении к механике сплошных сред и электромагнетизму. Все операции подробно разобраны в ортогональных системах координат и дано обобщение на случай произвольной криволинейной системы координат.
Книга предназначена для студентов, изучающих аэрогидромеханику, теорию упругости и другие предметы, использующие тензорный аппарат.Предисловие.
Основные сведения из векторной алгебры.
Векторы и скаляры.
Сложение и вычитание векторов. Проекция вектора на ось.
Умножение вектора на скаляр. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора.
Скалярное и векторное произведения двух векторов.
Произведения трех векторов.
Взаимные базисы векторов. Ковариантные и контравариантные составляющие вектора. Сокращенные обозначения.
Переменные векторы.
Задачи и упражнения к 1 главе.Понятие тензора и закон преобразования его компонент.
Компоненты тензоров и их преобразование. Равноправность координатных систем.
Тензоры нулевого ранга (скаляры).
Тензоры 1-го ранга (векторы).
Тензоры 2-го ранга.
Тензоры высших рангов.
Преобразование компонент векторов и тензоров при повороте координатной плоскости вокруг перпендикулярной оси.
Инвариантность тензорных уравнений.
Задачи и упражнения к 2 главе.Тензорная алгебра.
Сложение тензоров.
Умножение тензоров.
Свертывание тензоров.
Свойство симметрии тензоров.
Единичный тензор. Метрический тензор.
Главные оси тензора. Приведение тензора к главным осям.
Инварианты тензора.
Общий вид зависимости между компонентами тензоров 2-го ранга. Теорема Гамильтона - Кэли.
Признак тензорности величин.
Псевдотензоры.
Задачи и упражнения к 3 главе.Векторный и тензорный анализ.
Тензорное поле. Циркуляция.
Теорема Остроградского и теорема Стокса.
Скалярное поле. Производная по направлению. Оператор набла.
Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля. Дифференцирование вектора по направлению.
Поле тензора 2-го ранга. Поток, дивергенция и производная по направлению тензорного поля.
Ковариантное дифференцирование тензоров. Ковариантная производная вектора. Символы Кристоффеля.
Применение дифференциальных операций к различного вида векторным и скалярным функциям.
Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа.
Потенциальное векторное поле. Скалярный потенциал.
Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал.
Лапласово векторное поле. Гармонические функции.
Основная теорема векторного анализа.
Задачи и упражнения к 4 главе.