Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа

Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. — 672 с. — ISBN 5-9221-0008-4.Изложение теоретического материала иллюстрируется типовыми примерами. Большое внимание уделено трудным разделам курса математического анализа (равномерная сходимость функциональных рядов и интегралов, зависящих от параметра, равномерная непрерывность функций и т. д.).
Для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей вузов с повышенной подготовкой по математике. Может быть использована при самостоятельном изучении курса.
Второе издание — 1997 г.ОглавлениеВещественные числа
Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби.
Точные грани числовых множеств.
Операции над вещественными числами.Предел последовательности.
Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
Предел монотонной последовательности.
Подпоследовательности. Частичные пределы.
Критерий Коши сходимости последовательности.Предел и непрерывность функции.
Числовые функции.
Предел функции.
Непрерывность функции.
Непрерывность элементарных функций.
Вычисление пределов функций.Производная и её приложения.
Производная и дифференциал.
Правила дифференцирования.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Основные теоремы для дифференцируемых функций.
Формула Тейлора.
Правило Лопиталя.
Исследование функций с помощью производных.
Вектор-функции.
Кривые.Функции многих переменных.
Пространство Rⁿ.
Предел функции многих переменных.
Непрерывность функции многих переменных.
Дифференцируемость функции многих переменных.
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Неявные функции.
Замена переменных.Неопределенный интеграл.
Определение и свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования.
Комплексные числа.
Разложение рациональной функции на простые дроби.
Интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических и гиперболических функций.Определенный интеграл.
Определение и условия существования определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом. Вычисление определенных интегралов.
Приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.Числовые ряды.
Определение и свойства сходящихся рядов.
Ряды с неотрицательными членами.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды.Функциональные ряды.
Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
Степенные ряды.
Ряд Тейлора.Кратные интегралы.
Мера Жордана в Rⁿ.
Определение и свойства кратного интеграла Римана.
Сведение кратных интегралов к повторным.
Формула замены переменных в кратном интеграле.
Несобственные кратные интегралы.Криволинейные и поверхностные интегралы.
Криволинейные интегралы.
Формула Грина на плоскости.
Поверхности.
Площадь поверхности.
Поверхностные интегралы.Теория поля.
Скалярные и векторные поля.
Формула Остроградского-Гаусса.
Формула Стокса.Экстремумы функций многих переменных.
Формула Тейлора для функций многих переменных.
Экстремумы функций многих переменных.
Условный экстремум.Ряды Фурье.
Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам.
Лемма Римана.
Формула для частичных сумм тригонометрического ряда Фурье.
Сходимость ряда Фурье в точке.
Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье.
Равномерная сходимость ряда Фурье.
Комплекснозначные функции. Ряд Фурье в комплексной форме.
Суммирование ряда Фурье методом средних арифметических.
Теоремы Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами.
Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного.Интегралы, зависящие от параметра.
Собственные интегралы, зависящие от параметра.
Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла по параметру.
Эйлеровы интегралы.
Интеграл Фурье.
Преобразование Фурье.
Элементы теории обобщенных функций.
Асимптотические оценки интегралов.