Соболев С.Л. Уравнения математической физики

4-е изд. — М.: Наука, 1966. — 444 с.Фундаментальные основы. Классика.Вывод основных уравнений (формула Остроградского; уравнения колебаний струны, мембраны; уравнение неразрывности при движении жидкости; уравнение Лапласа; уравнение передачи тепла; звуковые волны
Постановка задач математической физики. Пример Адамара (начальные и краевые условия; зависимость решения от предельных условий; пример Адамара)
Классификация линейных уравнений 2-го порядка (квадратичные формы; канонический вид; характеристики)
Уравнение колебаний струны и его решение методом Даламбера (формула Даламбера; неограниченная струна; струна с двумя закрепленными концами; решение задачи для неоднородного уравнения и для более общих граничных условий)
Метод Римана (первая краевая задача для гиперболических уравнений; сопряженные дифференциальные операторы; функции Римана для сопряженного уравнения; качественные следствия из формулы Римана)
Кратные интегралы (замкнутые и открытые множества точек; интегралы по открытым и ограниченным замкнутым множествам от непрерывных функций; суммируемые функции, их сходимость в среднем; неопределенный интеграл от функции одной переменной; измеримые множества, теорема Егорова; теорема Лебега-Фубини)
Интегралы, зависящие от параметра (интегралы, равномерно сходящиеся при данном значении параметра; производная по параметру от несобственных интегралов)
Уравнение распространения тепла (фундаментальное решение; решение задачи Коши)
Уравнение Лапласа и Пуассона (теорема максимума; фундаментальное решение; формула Грина; потенциалы объема, простого и двойного слоя)
Некоторые общие следствия из формулы Грина (теорема о среднем арифметическом; поведение гармонической функции вблизи особой точки и на бесконечности; взаимно сопряженные точки)
Уравнение Пуассона в неограниченной среде. Ньютонов потенциал
Решение задачи Дирихле для шара
Задачи Дирихле и Неймана для полупространства
Волновое уравнение и запаздывающие потенциалы (характеристики волнового уравнения; метод Кирхгофа для решения задачи Коши)
Свойства потенциалов простого и двойного слоя (свойства; правильная нормальная производная; поведение потенциалов на бесконечности)
Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям (постановка задач, единственность их решений; интегральные уравнения для них)
Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости (фундаментальное решение; основные задачи; логарифмический потенциал)
Теория интегральных уравнений (метод последовательных приближений; уравнение Вольтерра; уравнение с вырожденным ядром; ядро специального вида; теоремы Фредгольма; уравнения с неограниченными ядрами специального вида)
Применение теории Фредгольма к решению задач Дирихле и Неймана (вывод свойств интегральных уравнений; исследование уравнений)
Функция Грина (дифференциальные операторы с одной независимой переменной; сопряженные операторы и сопряженные семейства; основная лемма об интегралах сопряженных уравнений; функция влияния; определение и построение функции Грина; обобщенная функция Грина для линейного уравнения 2-го порядка; примеры)
Функция Грина для оператора Лапласа (для задач Дирихле и Неймана)
Корректность постановки краевых задач математической физики (уравнение теплопроводности и волновое уравнение, их обобщенные решения; свойства обобщенных решений; неравенства Буяковского и Минковского; теорема Рисса-Фишера)
Метод Фурье (разделение переменных; примеры)
Интегральные уравнение с вещественным симетрическим ядром (простейшие свойства; вполне непрерывные операторы; доказательство существования собственного значения)
Билинейная формула и теорема Гильберта-Шмидта (формула; теорема; обоснование метода Фурье для решения краевых задач матфизики; применение теории интегральных уравнений с симметрическим ядром)
Неоднородное интегральное уравнение с симметрическим ядром (разложение резольвенты; представление решения с помощью аналитических функций)
Колебания прямоугольного параллелепипеда
Уравнение Лапласа в криволинейных координатах. Примеры применения метода Фурье (уравнение Лапласа; функции Бесселя; разделение переменных для уравнения в полярных координатах)
Гармонические полиномы и сферические функции (определение; приближение при помощи сферических функций и дифференциальные уравнения для них; задача Дирихле для шара)
Некоторые простейшие свойства сферических функций (представление полиномов Лежандра; производящая функция; формула Лапласа)