Винберг Э.Б. Курс алгебры

2-е издание, исправленное и дополненное. — М.: Факториал Пресс, 2001. — 544 с.Книга представляет собой расширенный вариант курса алгебры, читаемого в течение трех семестров на математических факультетах университетов. В нее включены такие дополнительные разделы, как элементы коммутативной алгебры (в связи с аффинной алгебраической геометрией), теории Галуа, теории конечномерных ассоциативных алгебр, и теории групп Ли. Это позволяет использовать книгу не только как учебник по общему курсу алгебры, но и как пособие для тех, кто желает углубить свои познания в алгебре. Изложение.
иллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал.
Для математиков и физиков — студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников.Предисловие.
Предисловие ко второму изданию.
Алгебраические структуры.
Введение.
Абелевы группы.
Кольца и поля.
Подгруппы, подкольца и подполя.
Поле комплексных чисел.
Кольца вычетов.
Векторные пространства.
Алгебры.
Алгебра матриц.
Начала линейной алгебры.
Системы линейных уравнений.
Базис и размерность векторного пространства.
Линейные отображения.
Определители.
Некоторые приложения определителей.
Начала алгебры многочленов.
Начала алгебры многочленов.
Построение и основные свойства алгебры многочленов.
Общие свойства корней многочленов.
Основная теорема алгебры комплексных чисел.
Корни многочленов с вещественными коэффициентами.
Теория делимости в евклидовых кольцах.
Многочлены с рациональными коэффициентами.
Многочлены от нескольких переменных.
Симметрические многочлены.
Кубические уравнения.
Поле рациональных дробей.
Начала теории групп.
Определение и примеры.
Группы в геометрии и физике.
Циклические группы.
Системы порождающих.
Разбиение на смежные классы.
Гомоморфизмы.
Векторные пространства.
Взаимное расположение подпространств.
Линейные функции.
Билинейные и квадратичные функции.
Евклидовы пространства.
Эрмитовы пространства.
Линейные операторы.
Матрица линейного оператора.
Собственные векторы.
Линейные операторы и билинейные функции в евклидовом пространстве.
Жорданова форма.
Функции от линейного оператора.
Аффинные и проективные пространства.
Аффинные пространства.
Выпуклые множества.
Аффинные преобразования и движения.
Квадрики.
Проективные пространства.
Тензорная алгебра.
Тензорное произведение векторных пространств.
Тензорная алгебра векторного пространства.
Симметрическая алгебра.
Алгебра Грассмана.
Коммутативные кольца.
Абелевы группы.
Идеалы и факторкольца.
Модули над кольцами главных идеалов.
Нётеровы кольца.
Алгебраические расширения.
Конечно порожденные алгебры и аффинные алгебраические многообразия.
Разложение на простые множители.
Группы.
Прямые и полупрямые произведения.
Коммутант.
Действия.
Теоремы Силова.
Простые группы.
Расширения Галуа.
Основная теорема теории Галуа.
Линейные представления и ассоциативные алгебры.
Инвариантные подпространства.
Полная приводимость линейных представлений.
Конечномерные ассоциативные алгебры.
Линейные представления конечных групп.
Инварианты.
Алгебры с делением.
Группы Ли.
Определение и простейшие свойства групп Ли.
Экспоненциальное отображение.
Касательная алгебра Ли и присоединенное представление.
Линейные представления групп Ли.
Ответы к задачам.
Словарь сокращений.
Список литературы.
Указатель обозначений.
Предметный указатель.