Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

Учебное пособие. — М.: Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 1990. — 328 с. — ISBN 5-211-00941-X.В основе учебного пособия лежит курс лекций, читаемый автором на механико-математическом факультете МГУ. Книга содержит в основном традиционный материал по программе курсов «Аналитическая геометрия» и «Линейная алгебра и геометрия». В отличие от известного учебника академика П.С. Александрова в настоящем пособии векторная алгебра строится на основе современного школьного курса геометрии с четким выделением используемых аксиом Эвклида, подробно исследуются плоские сечения поверхностей 2-го порядка, приведение матрицы оператора к жордановой форме основано на геометрическом подходе, даны элементы тензорной алгебры.
Для студентов вузов по специальностям «Математика», «Механика».Предисловие.
Аналитическая геометрия.
Векторы.
Предварительные теоретико-множественные понятия и факты.
Отрезок и полупрямая.
Полуплоскость и полупространство.
Определение вектора.
Сложение векторов и умножение вектора на число.
Векторы на прямой.
Линейная зависимость.
Геометрический смысл линейной зависимости.
Базисы и координаты.
Проекции и координаты.
Определение скалярного произведения векторов и его свойства.
Скалярное произведение в координатах.
Системы координат.
Уравнения прямой линии и плоскости.
Уравнения прямой линии на плоскости.
Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.
Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат.
Уравнения плоскости.
Взаимное расположение плоскостей. Полупространства.
Прямая в пространстве.
Плоскость в пространстве с прямоугольной системой координат.
Преобразования координат. Ориентация. Векторное и смешанное произведения.
Матрицы и операции над ними.
Переход от одного базиса к другому.
Переход от одной аффинной системы координат к другой.
Ориентации прямой, плоскости, пространства.
Ориентированный объем параллелепипеда.
Векторное и смешанное произведения.
Некоторые приложения векторного и смешанного произведений к прямым и плоскостям в пространстве.
Линии второго порядка.
Алгебраические линии на плоскости. Квадратичные функции и их матрицы.
Ортогональные матрицы.
Преобразования прямоугольных координат.
Ортогональные инварианты квадратичных функций.
Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте осей координат.
Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
Определение канонического уравнения линии второго порядка по инвариантам.
Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы.
Фокальное свойство эллипса и гиперболы.
Кривые второго порядка в полярных координатах.
Пересечение линии второго порядка с прямой.
Теоремы единственности для линий второго порядка.
Центры линий второго порядка.
Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка.
Главные направления и главные диаметры линий второго порядка. Оси симметрии.
Расположение линий второго порядка.
Аффинные преобразования.
Преобразования.
Определение и свойства аффинных преобразований.
Аффинная классификация линий второго порядка.
Определение и свойства изометрических преобразований.
Классификация движений плоскости.
Поверхности второго порядка.
Основная теорема о поверхностях второго порядка.
Эллипсоиды.
Гиперболоиды.
Конические сечения.
Параболоиды.
Цилиндры.
Аффинная классификация поверхностей второго порядка.
Проективная плоскость.
Пополненная плоскость и связка.
Однородные координаты на проективной плоскости. Теорема Дезарга.
Проективные системы координат.
Проективные преобразования.
Линии второго порядка в однородных координата.
Проективная и проективно-аффинная классификации линий второго порядка.
Линейная алгебра и геометрия.
Линейные пространства.
Определение линейного пространства.
Линейная зависимость. Базисы. Размерность.
Подпространства линейного пространства. Операции над ними.
Прямая сумма подпространств.
Линейные отображения и изоморфизмы.
Сопряженные пространства.
Определение и простейшие свойства сопряженных пространств.
Второе сопряженное пространство.
Аннуляторы и нулевые подпространства. Системы однородных линейных уравнений.
Линейные операторы в линейном пространстве.
Матрица линейного оператора.
Алгебра линейных операторов и алгебра матриц.
Инвариантные подпространства. Приводимые операторы.
Собственные векторы. Спектр оператора. Диагонализируемые операторы.
Характеристический многочлен оператора. Алгебраическая и геометрическая кратности его корней.
Нильпотентные операторы. Их характеристические многочлены.
Разложение вырожденного оператора в прямую сумму нильпотентного и невырожденного.
Единственность жордановой формы нильпотентного оператора.
Существование жорданова базиса для нильпотентного оператора.
Жорданова форма произвольного оператора.
Теорема Гамильтона—Кэли.
Билинейные и квадратичные функции.
Билинейные функционалы и их матрицы.
Ранг билинейного функционала. Левое и правое ядра.
Квадратичные функции и полярные к ним билинейные функционалы.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции.
Теорема Якоби о приведении квадратичной формы к каноническому виду.
Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра. Определитель Грама. Неравенство Коши—Буняковского.
Эвклидовы пространства.
Эвклидовы и нормированные пространства.
Длины и углы. Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации.
Ортогональное дополнение. Общий вид линейного функционала в эвклидовом пространстве.
Линейные отображения эвклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы.
Самосопряженные операторы.
Изометрические операторы. Инвариантные подпространства. Корни характеристического многочлена.
Канонический вид изометрического оператора.
Неотрицательные операторы.
Разложение произвольного оператора в композицию неотрицательного и изометрического.
Квадратичные функции в эвклидовых пространствах.
Точечные пространства.
Аффинные и точечно-эвклидовы пространства.
Плоскости в аффинных пространствах. Различные способы их задания.
Пересечение плоскостей. Их взаимное расположение.
Выпуклые множества в аффинных пространствах.
Точки общего положения. Симплексы. Барицентрические координаты.
Аффинные отображения аффинных пространств. Разложение аффинного отображения точечно-эвклидова пространства в композицию изометрического и неотрицательного самосопряженного.
Классификация движений пространства.
Поверхности второго порядка в трехмерном пространстве.
Элементы тензорной алгебры.
Тензоры. Запись в координатах.
Операции над тензорами. Базис в пространстве тензоров.
Симметрическое и кососимметрические тензоры. Альтернирование.
Внешнее умножение. Базис в пространстве кососимметрических тензоров.
Предметный указатель.